Trilatération

La trilatération consiste à utiliser uniquement les distances pour localiser l’objet cherché, et non les angles. Expliquons ceci.

Ce principe utilise le plus souvent le système de signal radio. Il se base sur la connaissance de la vitesse de propagation de l’onde :

Les points autour de celui que l’on cherche à connaître émettent une onde. A partir de ce moment, un chronomètre se déclenche. Lorsque l’objet inconnu reçoit l’onde, il la renvoi vers son émetteur. Quand celui la capte, il stoppe le chronomètre. Le calcul devient alors simple (en théorie) :

Or c’est un allé-retour que l’onde fait, il suffit donc de divisé la distance obtenue et nous obtenons la distance entre le point inconnu et l’émetteur.

Pour notre expérience nous avons utilisé une caractéristique propre au son, son intensité, pour évaluer les distances. Nous ne développerons pas ce point ici puisqu’un article y est dédié.

Une fois les distance connues, il suffit de tracer des cercles de centres des points connus et de rayons égaux à la distance propre des ces chaques points à l’objet inconnu. Le point d’intersection de ces cercles indique l’endroit où se situe le point recherché.

Prenons un exemple concret.

Nous admettrons que nous connaissons déjà les distances entre chaque point connu et le point recherché.

Prenons A, B et C, et M un point de coordonnées inconnues. Nous cherchons à déterminer les coordonnées du point M en connaissant les longueurs de ce point par rapport à A, B et C.

Nous traçons ensuite trois cercles de centres A, B et C et de rayon égal à la distance respective de chaque point par rapport a M.

Appelons le cercle de centre A : a, de centre B : b et de centre C : c.

Ces cercles ont pour équations* :

Il s’agit maintenant de trouver l’équation de deux des droites au moins passant par les points d’intersections des cercles :

et

(La troisième équation peut servir pour obtenir plus de précision pour la géolocalisation, notamment avec les marge d’erreur, mais ici, nous considérons ne pas en avoir).

Pour obtenir les coordonnées du point M, nous avons déjà son ordonnée y= 2, il suffit de trouver la valeur de x pour laquelle  la droite formée par l’intersection du cercle de centre A et de centre B a pour ordonnée 2 :

Donc le point M a pour coordonnées .

*La démonstration des équations de cercles n’étant pas encore étudiée en classe, expliquons la maintenant :

Soit A un point d’un repère de coordonnées et M appartenant au cercle de centre A et de rayon et R le rayon de ce cercle, ce qui revient à dire R = AM.

Le vecteur a pour coordonnées

Donc

Puisque les vecteurs et sont de norme 1, et sont orthogonaux, on applique le théorème de Pythagore pour obtenir la longueur AM, ce qui nous amène a notre équation :

(Pour retourner sur la page de la triangulation, cliquez ici).

Triangulation par les angles

Cette méthode de triangulation permet d’évaluer la distance d’un point inconnu par rapport à deux autres points dont on connaît celle qui les séparent. Le point dont cette distance est inconnu est considéré comme un des sommet du triangle. Pour illustrer cette technique, basons nous sur un exemple concret, ce sera plus aisé à comprendre.

Prenons donc ce triangle ABC. Le point que nous cherchons est le point B. Nous connaissons AB, ainsi que les angles a et c.

Il est simple de calculer l’angle b, sachant que la somme des sommets d’un triangle est égale à 180°, il suffit de faire 180-(a+c).

Ensuite, c’est la loi des sinus que nous utilisons :

Ainsi, grâce à deux produits en croix, nous connaissons les distances AB et BC.

Cette technique est utilisée surtout en télémétrie optique, notamment dans le domaine militaire, en l’absence de radars, à l’aide de télémètres. Elle permet d’évaluer des distances importantes, mais nécessite pour cela une distance importante entre les deux télémètres pour obtenir une précision accrue de la mesure des angles.

(Pour retourner sur la page de la triangulation, cliquez ici)

Les coordonées géographiques

Depuis des siècles, les hommes ont cherché un moyen de se repérer dans l’espace. Grâce à de nombreux acteurs, l’homme moderne est aujourd’hui arrivé à un résultat satisfaisant : les coordonnées géographiques. Il existe d’autres systèmes que ce dernier pour ce repérer, mais il reste le système le plus utilisé au monde.

Les coordonnées géographique d’un point sont composées par sa latitude et sa longitude, qui s’expriment en degrés et qui sont munis d’une direction.

Les latitudes.

Les latitudes servent à se repérer sur l’axe Nord-Sud de notre planète. Cette estimation se faisait, jusqu’à la fin du XVème siècle, grâce aux étoiles, et était donc impossible a réaliser de jour. C’est effectivement Martin Behaim, astronome, qui trouva le moyen d’estimer notre latitude par rapport à la hauteur du Soleil et à notre position par rapport à celui-ci.

Représentation de certaines latitudes. Elles sont toutes parallèles à l’équateur qui sert de référence.

Les longitudes.

C’est l’horloger John Harrison qui, au XVIIème siècle, en prenant le méridien de Greenwich comme référence et en se basant sur le Soleil, calcule les décalages horaires et met en place un chronomètre de marine ainsi que des longitudes qui délimitent les « zones horaires« . Il permet ainsi à la navigation de faire un bond en avant, et aux explorateurs de se repérer sur une carte avec bien plus de précision.

Représentation de tous les méridiens, le méridien de Greenwich est le méridien d’angle 0°. Il est utilisé comme référence.

C’est bien tout ça, mais alors d’une manière concrète, comment définir un point ?

Et bien c’est très simple, un point à la surface de la Terre peut être défini par sa latitude et sa longitude, soit deux angles et une direction : EST pour la « droite » du méridien de Greenwich, OUEST pour la « gauche », NORD pour le « haut » de l’équateur et SUD pour le « BAS » de l’équateur.

Localisation d’un point à la surface de la Terre. On voit ici qu’il est à 40° au Nord (c’est sa latitude) et à 60° à l’Ouest (c’est sa longitude)

Cependant, ce système n’est utile que quand le point que le cherche à mesurer se situe à la surface de la planète. Un point peut donc aussi être défini par son altitude (une distance par rapport à un point de référence). En général, l’altitude est donnée en fonction du niveau de la mer, mais elle peut aussi être donnée en utilisant n’importe quel point, comme le centre de la Terre. Dans l’exemple précédent, on pourrait donner l’altitude par rapport au centre de la Terre qui serait la distance Center – Point, soit la rayon de la Terre (environ 6350 km).

Calcul de distance grâce à l’intensité sonore

L’intensité sonore est une mesure du son. Elle décrit comment un récepteur reçoit le son. Dans la vie courante on appelle l’intensité sonore le « volume » d’un son. Cette intensité sonore suit des règles physiques et est quantifié en mathématiques, on peut donc l’utiliser pour trouver le distance d’une émetteur par rapport à un récepteur.

Calcul de la distance d’une manière scientifique

Voici la formule permettant de calculer l’intensité sonore, I est l’intensité en dB (decibels), SPL une caractéristique de l’enceinte (la pression acoustique maximale à un mètre de l’enceinte) et d la distance en mètre entre l’émetteur et le récepteur.

Sans détailler les calculs, on peut donc en déduire que

.

Voici un tableau de valeurs tiré de ce site :

Distance (m)	Intensité sonore (dB)
0.5	SPL + 6
1	SPL
2	SPL – 6
3	SPL – 9.5
4	SPL – 12
5	SPL – 14
10	SPL – 20
100	SPL – 40

Appliquons notre deuxième formule et regardons si cela correspond bien aux valeurs du tableau, prenons un SPL de 100 et une intensité sonore de SPL + 6, soit 106 dB.

.

Le résultat correspond bien (les autres aussi).

Calcul de la distance d’une manière plus triviale

On peut aussi très bien par soucis de facilité (flemmardise ?) calculer cette distance par étalonnage. L’étalonnage consiste à prendre plusieurs valeurs de référence et comparer la valeur trouvée avec ces valeurs. La relation intensité sonore/distance est logarithmique les valeurs seront donc assez proche l’une de l’autre et pour éviter les calcules il ne faudra pas uniquement utiliser deux valeurs, mais une multitude de valeurs pour avoir un résultat relativement précis. On pourrait utiliser le tableau ci dessus et le compléter avec une marche de 0.1m ou 0.05m. Cette technique est surtout utilisée pour des phénomènes non quantifiés ou difficilement calculables et ne devrait donc pas être mise en place ici.

Note : Cependant elle peut-être bénéfique dans ce cas pour éviter des conversions de décibels. En effet il existe plusieurs « types » de décibels, les dB A, les dB B, les dB SP… Par manque de matériel permettant de faire ces conversions ou pas soucis de précision (les conversions sans matériel sont hasardeuses) on peut l’appliquer.